函数f(x)=x+a/x(a为常数)的图象过点(2,0), (Ⅰ)求a的值并判断f(x)的奇偶性; (Ⅱ)函数g(x)=lg[f(x)+2x-m]在区间[2,3]上有意义,求实数m的取值范围; (Ⅲ)

函数f(x)=x+a/x(a为常数)的图象过点(2,0), (Ⅰ)求a的值并判断f(x)的奇偶性; (Ⅱ)函数g(x)=lg[f(x)+2x-m]在区间[2,3]上有意义,求实数m的取值范围; (Ⅲ)

题目
函数f(x)=x+
a
x
答案
(Ⅰ)依题意有0=2+
a
2
⇒a=−4

此时f(x)=x−
4
x
,其定义域为x|x≠0,由f(-x)=-f(x)即f(x)=x−
4
x
为奇函数;
(Ⅱ)函数g(x)=lg[f(x)+2x-m]在区间[2,3]上有意义,即x−
4
x
+2x−m>0
对x∈[2,3]恒成立,得(x−
4
x
+2x)min>m

h(x)=x−
4
x
+2x
,x∈[2,3]先证其单调递增:
任取2≤x1<x2≤3,
h(x2)−h(x1)=x2
4
x2
+2x2−(x1
4
x1
+2x1)=
(x2x1)(x1x2+4)
x1x2
+(2x22x1)

因为2≤x1<x2≤3,则h(x2)-h(x1)>0,
故h(x)在x∈[2,3]递增,
h(x)=x−
4
x
+2x
的最小值h(2)=4,∴m<4;
(III)设y1=|f(x)|,y2=t+4x-x2
结合图象得:
①当t<-4时,正根的个数为0;
②当t=-4时,正根的个数为1;
③当t>-4时,正根的个数为2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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