设直线l到⊙O的圆心的距离为d,半径为R,并使x2-2dx+R=0,试由关于x的一元二次方程根的情况讨论l与⊙O的位置关系.

设直线l到⊙O的圆心的距离为d,半径为R,并使x2-2dx+R=0,试由关于x的一元二次方程根的情况讨论l与⊙O的位置关系.

题目
设直线l到⊙O的圆心的距离为d,半径为R,并使x2-2
d
x+R=0,试由关于x的一元二次方程根的情况讨论l与⊙O的位置关系.
答案
(1)若关于x的一元二次方程x2-2
d
x+R=0有两个不相等的实数根,
则△=(-2
d
2-4×1×R=4d-4R>0,
解得:d>R.
此时直线l与⊙O相离.
(2)若关于x的一元二次方程x2-2
d
x+R=0有两个相等的实数根,
则△=(-2
d
2-4×1×R=4d-4R=0,
解得:d=R.
此时直线l与⊙O相切.
(3)若关于x的一元二次方程x2-2
d
x+R=0没有实数根,
则△=(-2
d
2-4×1×R=4d-4R<0,
解得:d<R.
此时直线l与⊙O相交.
可将直线l与⊙O的位置关系转化为d与R之间的数量关系,只需对该一元二次方程根的情况进行讨论,就可解决问题.

直线与圆的位置关系;根的判别式.

本题主要考查了直线l与⊙O的位置关系以及一元二次方程根的判别式,还考查了数形结合和分类讨论的思想,是一道好题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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