设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,不等式f(x)>0的解集是(-3,2). (1)求f(x); (2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.

设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,不等式f(x)>0的解集是(-3,2). (1)求f(x); (2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.

题目
设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,不等式f(x)>0的解集是(-3,2).
(1)求f(x);
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.
答案
(1)∵f(x)>0的解集是(-3,2),
∴-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两个根,
∴-3+2=-1=
8−b
a
,即b-8=a①
-3×2=-6=
−a−ab
a
,即1+b=6②
解得a=-3,b=5
∴f(x)=-3x2-3x+18
(2)∵函数f(x)=-3x2-3x+18的图象是以x=
1
2
为对称轴,开口方向朝下的抛物线
故函数f(x)=-3x2-3x+18在区间[0,1]上单调递减
∴当x=0时,y有最大值18,
当x=1时,y有最小值12,
∴当x∈[0,1]时函数f(x)的值域[12,18]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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