已知函数fx满足对任意实数a,b,有f(（a+2b）/3）=（f(a)+2f(b)）/3,f(1)=1,f(4)=7,则f(2014)的值是

题目

已知函数fx满足对任意实数a,b,有f(（a+2b）/3）=（f(a)+2f(b)）/3,f(1)=1,f(4)=7,则f(2014)的值是
答案：4027

答案

f(1)=1,f(4)=7,令a=4,b=1,得f(2)=3,令a=1,b=4,得f(3)=5,猜f(n)=2n-1.①n=1,2,3,4时①成立.假设对于小于或等于n的正整数,①都成立,令a=n-2,b=n+1,得f(n)=[f(n-2)+2f(n+1)]/3,∴f(n+1)=[3f(n)-f(n-2)]/2=[3(2n-1)-(2n-...