以△ABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE及ACGF,作AN⊥BC于点N,延长NA交EF于M点,求证:EM=MF.
题目
以△ABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE及ACGF,作AN⊥BC于点N,延长NA交EF于M点,求证:EM=MF.
答案
过点E作EP垂直NM交NM的延长线于点P,过点F作FH垂直MN于点H,如下图所示,
∵∠EAP+∠BAN=90°,∠BAN+∠ABN=90°,
∴∠EAP=∠ABN,
在RT△EAP和RT△ABN中,
,
∴△EAP≌△ABN,
故可得:EP=AN,
同理可得:RT△FHA≌RT△ANC,
故可得:FH=AN=EP,
从而可证得:RT△EMP≌RT△FMH,
故EM=MF.
过点E作EP垂直NM交NM的延长线于点P,过点F作FH垂直MN于点H,依次证明△EAP≌△ABN、RT△FHA≌RT△ANC、RT△EPM≌RT△FHM即可得出结论.
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质,解答本题的关键是作出辅助线,利用三角形全等的证明得出EP=FH,难度较大.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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