设a>0,b>0,若2是4a与2b的等比中项,则2a+1b的最小值为(  ) A.22 B.8 C.9 D.10

设a>0,b>0,若2是4a与2b的等比中项,则2a+1b的最小值为(  ) A.22 B.8 C.9 D.10

题目
设a>0,b>0,若
2
是4a与2b的等比中项,则
2
a
+
1
b
的最小值为(  )
A. 2
2

B. 8
C. 9
D. 10
答案
因为4a•2b=2,所以2a+b=1,
2
a
+
1
b
=(2a+b)(
2
a
+
1
b
)=5+2(
b
a
+
a
b
)≥5+4
b
a
a
b
=9

当且仅当
b
a
a
b
a=b=
1
2
时“=”成立,
故选C.
由题设条件中的等比关系得出a+b=1,代入
2
a
+
1
b
中,将其变为5+
2b
a
+
2a
b
,利用基本不等式就可得出其最小值.

基本不等式;等比数列的性质.

此题是基础题.本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力和计算能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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