已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=_．

题目

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=______．

答案

联立直线与圆方程得到：
（2y-3）²-（2y-3）+y²-6y+m=0
整理得：5y²-20y+（m+12）=0
则：y₁+y₂=4，y₁•y₂=

m+12

5

∴x₁•x₂=（-2y₁+3）•（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=4•

m+12

5

-15
已知OP⊥OQ
则，Kop*Koq=-1
即：y₁•y₂+x₁•x₂=0
∴

m+12

5

+4•

m+12

5

-15=0
即m+12-15=0
∴m=3
故答案为：3