设f（x）=（x2+ax+a）e-x，x∈R． （Ⅰ）确定a的值，使f（x）的极小值为0； （ II）证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3．

题目

设f（x）=（x²+ax+a）e^-x，x∈R．
（Ⅰ）确定a的值，使f（x）的极小值为0；
（ II）证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3．

答案

（Ⅰ）由于f（x）=（x2+ax+a）e-x，所以f'（x）=（2x+a）e-x-（x2+ax+a）e-x=-e-x[x2+（a-2）x]．…（2分）令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，当a=2时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值．所以2-a≠0．①当2-a＞0，即a...

对函数求导，整理可得f′（x）=e^-x[x²+（a-2）x]
（Ⅰ）令f′（x）=0可得x₁=0，x₂=2-a，分别讨论2-a 与0的大小，从而判断函数的单调性，进一步求出函数的极小值，从而求a的值
（ II）结合（Ⅰ）中函数单调性的两种情况的讨论，利用反证法分别假设a＞2，a＜2两种情况证明，产生矛盾．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，考查用导数的方法研究函数的单调性、极值．解题中渗透了分类讨论、数形结合、方程与函数的思想及转化的思想．