如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证： （1）BE•DE+AC•CE=CE2； （2）∠EDF=∠CDB； （3）E，F，C，B四点共圆．

题目

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：

（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）∠EDF=∠CDB；
（3）E，F，C，B四点共圆．

答案

（1）连接CD，如下图所示：

由圆周角定理，我们可得∠C=∠B
又由∠BEC为△ABE与△CDE的共公角，
∴△ABE∽△CDE，
∴BE：CE=AE：DE，
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE²（3分）
（2）∵△ABE∽△CDE，
∴∠EDC=∠FDB，
∴∠EDF=∠CDB，（6分）
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ECB=90°，
取EB的中点H，连接FH，CH
∴CH=

1

2

BE，
同理，FH=

1

2

BE，
所以，E，F，C，B到点H的距离相等，
∴E，F，C，B四点共圆．（10分）