已知函数f（x）=sinx+3cosx． （Ⅰ）求f（x）的周期和振幅； （Ⅱ）求函数f（x）的递减区间．

题目

已知函数f（x）=sinx+

3

cosx．
（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）求函数f（x）的递减区间．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=sinx+

3

cosx
=2sin（x+

π

3

），
∴其周期T=

2π

1

=2π，振幅为2；
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

得：
2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

，k∈Z．
∴函数f（x）=2sin（x+

π

3

）的递减区间为[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈Z．

（Ⅰ）利用辅助角公式将f（x）=sinx+

3

cosx转化为f（x）=2sin（x+

π

3

）即可求f（x）的周期和振幅；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）=2sin（x+

π

3

）的递减区间．

本题考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于中档题．