已知抛物线方程为y2=2px（p＞0），直线l：x+y=m过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．

题目

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0），直线l：x+y=m过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．

答案

由直线l过抛物线的焦点F(

p

2

，0)，得直线l的方程为x+y＝

p

2

．
由

x+y＝ p 2 y2＝2px

消去，得y²+2py-p²=0．
由题意得△＝(2p)2+4p2＞0，y1+y2＝−2p，y1y2＝−p2．
设直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AB|＝x1+x2+p＝

p

2

−y1+

p

2

−y2+p＝2p−(y1+y2)＝4p，
解得p＝

3

4

，
故p的值为

3

4

．

由于直线l：x+y=m过抛物线的焦点，得到直线l的方程，再将l的方程代入抛物线方程y²=2px，得y²+2py-p²=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得y₁+y₂，y₁y₂；再由弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，可求得|AB|=4p=3，从而求得p的值．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：本题考查了抛物线的几何性质以及弦长公式的应用，也考查了一定的计算能力，解题时要灵活运用公式，正确解答．