P是三角形ABC内一点,连接 PA,PC,PB,以PB为边作角PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.

题目

P是三角形ABC内一点,连接 PA,PC,PB,以PB为边作角PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论
（2）若PA:PB:PQ=3:4:5,连接PQ,判断三角形PQC的形状,并说明理由

答案

（1）猜想：AP＝CQ．证明如下：
在△ABP与△CBQ中,∵AB＝CB,BP＝BQ,∠ABC＝∠PBQ＝60°,所以△BCQ可以看作是△BAP绕点B顺时针旋转60°而得到的．∴AP＝CQ．
（2）由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5,可设PA＝3a,PB=4a,PC=5a．
连接PQ,在△PBQ中,由于PB＝BQ＝4a,且∠PBQ＝60°．
∴△PBQ为正三角形．∴PQ＝4a．
于是在△PQC中,∵PQ2＋QC2＝16a2+9a2=25a2=PC2．
∴△PQC是直角三角形,∠PQC=90°．