证明如果A与B相似,f(x)是一个多项式,则f(A)=0当且仅当f(B)=0.

题目

证明如果A与B相似,f(x)是一个多项式,则f(A)=0当且仅当f(B)=0.

答案

A与B相似,则存在可逆矩阵T,使得T^(-1)AT=B
从而T^(-1)(A^k)T=B^k (k=1,2,……,n)
T^(-1)f(A)T=f(B)
当f(A)=0时,f(B)=0.
又T是可逆的,f(A)=Tf(B)T^(-1)
故f(B)=0时,f(A)=0.
即f(A)=0当且仅当f(B)=0