为何在求不定积分∫xe^xdx时,会有两种结果呢?

题目

为何在求不定积分∫xe^xdx时,会有两种结果呢?
第一种是∫xe^xdx=∫xd(e^x)=xe^x-∫e^xdx=e^x(x-1)+C
第二种是∫xe^xdx=∫e^xd(x^2/2)=e^x(x^2/2) - ∫(x^2/2)d(e^x)=e^x(x^2/2)-∫(x^2/2)e^xdx
=e^x(x^2/2)-x^3/6)e^x+C
两种解法都是用到了分部积分法,但为何两种思路后的结果却不一样?
另外我还想问下,在求积分时同时有多个表达式的情况多吗?
就目前为止,我知道有两个不定积分解的是∫sectdt=ln|(1+sint)/(1-sint)|/2+C=ln|sect+tant|+C.
像这样的不定积分还有吗?当填答案时,会不会出现与固定答案不一而判错的情况呢?

答案

不定积分的答案是一系列的曲线族,并不唯一的.所以有无限多个答案,选哪个都是正确的!
∫ secx dx = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C,正确!
= ln|secx + tanx| + C,也正确.但是这个作为答案比较常用
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C,正确!
= ln|cscx - cotx| + C,也正确!,比较常用
= - ln|cscx + cotx|,也正确!
∫ sinxcosx dx = (1/2)∫ sin2x dx = (- 1/4)cos2x + C,正确!
= ∫ sinx d(sinx) = (1/2)sin²x + C,正确!
= ∫ cosx d(- cosx) = (- 1/2)cos²x + C,也正确!