已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=4/5,则C的离心率e=_.
题目
已知椭圆
C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=
,则C的离心率e=___.
答案
设椭圆的右焦点为F',连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分,∴四边形AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=
,
∴由余弦定理|AF|
2=|AB|
2+|BF|
2-2|AB|×|BF|cos∠ABF,
可得6
2=10
2+|BF|
2-2×10×|BF|×
,解之得|BF|=8
由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7
∵△ABF中,|AF|
2+|BF|
2=100=|AB|
2∴∠AFB=90°,可得|OF|=
|AB|=5,即c=5
因此,椭圆C的离心率e=
=
故答案为:
设椭圆右焦点为F',连接AF'、BF',可得四边形AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8,从而得到|AF|
2+|BF|
2=|AB|
2,得∠AFB=90°,所以c=|OF|=
|AB|=5.根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14,得a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率.
椭圆的简单性质
本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形,求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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