设f(x)在（0,1）上连续,在（0,1）内可导,且f（0）=f(1),证明存在0

题目

设f(x)在（0,1）上连续,在（0,1）内可导,且f（0）=f(1),证明存在0

答案

证明：
分别在[0,1/2],[1/2,1]上对f(x)运用微分中值定理
存在ξ∈(0,1/2),使得
f(1/2)-f(0)=1/2f'(ξ).(1)
存在η∈(1/2,1),使得
f(1)-f(1/2)=1/2f'(η).(2)
(1),(2)相加可得
f‘（η）+f’（ξ）=0
即证.