已知函数,f(x)=|x-a| (a>0) (1)求证f(m)+f(n)≥|m-n| (2)解不等式f(x)+f(-x)>2
题目
已知函数,f(x)=|x-a| (a>0) (1)求证f(m)+f(n)≥|m-n| (2)解不等式f(x)+f(-x)>2
答案
f(x)=|x-a| (a>0)
(1)
f(m)+f(n)=|m-a|+|n-a|=|m-a|+|a-n|
根据|a+b|≤|a|+|b|
∴|m-a|+|a-n|≥|m-a+a-n|=|m-n|
即f(m)+f(n)≥|m-n|
(2)
f(x)+f(-x)>2
即|x-a|+|x+a|≥2
若02
即a>1,原不等式不成立
当x>a时,原不等式即
x-a+x+a>2
x>1
当x2解得x2,2a>2恒成立
原不等式,解得-a≤x≤a
当x>a时,原不等式即
x-a+x+a>2
x>1与x>a取交集得x>a
当x2
解得x
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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