已知mn≠pq,求证(m^2+n^2)(p^2+q^2)>(mp+nq)^2

题目

已知mn≠pq,求证(m^2+n^2)(p^2+q^2)>(mp+nq)^2
已知mn≠pq
求证(m^2+n^2)(p^2+q^2)>(mp+nq)^2

答案

(m²+n²)(p²+q²)-(mp+nq)²
=m²p²+m²q²+n²p²+n²q²-(m²p²+2mnpq+n²q²)
=m²p²+m²q²+n²p²+n²q²-m²p²-2mnpq-n²q²
=m²q²+n²p²-2mnpq
=(mq-np)²
当且仅当mq≠np时,(mq-np)²>0
(m²+n²)(p²+q²)>(mp+nq)²,不等式成立.
因此你的这道题是个错题.估计是你抄题的时候错把mq≠np想当然的抄成mn≠pq了.
举个反例就知道你抄错题了：
令m=3 n=2 p=6 q=4
mn=3×2=6 pq=6×4=24 mn≠pq
但是：
(m²+n²)(p²+q²)=(3²+2²)(6²+4²)=13×52=676
(mp+nq)²=(3×6+2×4)²=26²=676
(m²+n²)(p²+q²)=(mp+nq)²