已知S是两个整数平方和的集合,即S=｛X｜X=m平方+n平方,m属于Z,n属于Z｝求证. 若s、t属于S

题目

已知S是两个整数平方和的集合,即S=｛X｜X=m平方+n平方,m属于Z,n属于Z｝求证. 若s、t属于S
已知S是两个整数平方和的集合,即S=｛X｜X=m平方+n平方,m属于Z,n属于Z｝求证.若s、t属于S,t≠0,则S/T=p平方+Q平方,其中P.Q为有理数
答案是：
若s, t∈S,t ≠0,设s = m2 + n2,t = u2 + v2,其中m, n, u, v∈Z.因为t≠0,故u, v不同时为零.则s/t = st/t2 = (m2 + n2)(u2 + v2)/(u2 + v2)2= ((mu + nv)2 + (mv - nu)2)/(u2 + v2)2= {(mu + nv)/(u2 + v2)}2 + {(mv - nu)/(u2 + v2)}2设p = (mu + nv)/(u2 + v2), q = (mv - nu)/(u2 + v2),则p, q为有理数, 且s/t=p2+q2.
我的问题是：为什么mu + nv)/(u2 + v2)和 (mv - nu)/(u2 + v2)一定是有理数

答案

因为所有的字母都是整数
所以p和q的分子以及分母都是整数
所以p和q都是有理数