直线y=kx-2交曲线y^2-8x=0于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,求线段AB的长

题目

直线y=kx-2交曲线y^2-8x=0于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,求线段AB的长

答案

设AB中点D(x0,y0)由已知条件可知x0=2.y0=2k-2
设A(x1,y1) B(x2,y2)
代入抛物线
y1^2-8x1=0
y2^2-8x2=0
两式相减得
(y1^2-y2^2)-8(x1-x2)=0
(y1+y2)(y1-y2)-8(x1-x2)=0
两边同除以(x1-x2)
2y0*k-8=0
2(2k-2)k-8=0
得k=-1或者2
当k=-1代入检验发现Δ=0,l与抛物线只有一个交点.所以舍去
所以k=2
l:y=2x-2
代入抛物线得
x^2-4x+1=0
由韦达定理x1+x2=4.x1x2=1
得|x1-x2|=2√3
由直线上两点距离公式d=|x1-x2|*√(1+k^2)
得d=2√15