已知抛物线y=x^2+4x+m(m为常数）经过点（0,4）

题目

已知抛物线y=x^2+4x+m(m为常数）经过点（0,4）
（1）求m的值 （这个 不需要了.）
（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件：I它的对称轴（设为直线L2）与平移前的抛物线的对称轴（设为L1）关于y轴对称；II它所对应的函数最小值为-10
①请求出平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在点P,使得以4为半径的圆P即与x轴相切,又与直线L2相交?若存在,请求出P的坐标,并求出直线L2被圆P所截得的弦AB的长度,若不存在请说明理由

答案

假设抛物线先向右平移a个单位再向下平移b个单位则另一条抛物线的方程为y+b=(x+2-a)^2即y=(x+2-a)^2-b
这条抛物线的对称轴为x=a-2,最小值为-b
依题意有a-2=-(-2)=2得a=4
-b=-10得b=10
那么平移后的抛物线所对应的函数关系式为y=x^2-4x-6
假设存在这样的点P（xP,yP)
那么圆的方程为（x-xP)^2+(y-yP)^2=16
圆P与x轴相切则有│yP│=4得yP=±4
圆P与直线L2相交把直线L2的方程x=2与yP的值代入圆方程化简得xP^2-4xP+4=0
得xP=2（xP=-2不符舍去因为圆心到直线的距离=半径相切）
则P(2,4)或（2,-4）
直线L2被圆P所截得的弦AB的长度为圆的直径为8（因为点P在直线L2上）