已知数列{an}的前n项的和为Sn,且a1=1,na(n+1)=(n+2)Sn,n属于N*.求证数列{Sn/n}为等比数列

题目

已知数列{an}的前n项的和为Sn,且a1=1,na(n+1)=(n+2)Sn,n属于N*.求证数列{Sn/n}为等比数列
数列{an}的通项公式及前n项和Sn
若数列{bn}满足：b1=1/2,b(n+1)/(n+1)=(bn+Sn)/n(n属于N*）,求数列{bn}的通项公式

答案

1.na(n+1)=n[S(n+1)-Sn]=(n+2)Sn
nS(n+1)=2(n+1)Sn
S(n+1)/(n+1)=2*Sn/n
所以{Sn/n}是公比为2的等比数列
2.S1/1=a1=1
所以Sn/n=2^(n-1)
Sn=n*2^(n-1)
所以na(n+1)=(n+2)*n*2^(n-1)
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)
an=(n+1)*2^(n-2)
3.b(n+1)/(n+1)=[bn+n*2^(n-1)]/n
所以
b(n+1)/(n+1)-bn/n=2^(n-1)
bn/n-b(n-1)/(n-1)=2^(n-2)
.
b2/2-b1=2^0=1
叠加 b(n+1)/(n+1)-b1=1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1
b(n+1)=(n+1)(2^n-1)
故bn=n*2^(n-1)-n