如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证： （1）BD1∥平面EAC； （2）平面EAC⊥平面AB1C．

题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．求证：

（1）BD₁∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB₁C．

答案

证明：（1）连接BD，交AC于O．连接EO，BD₁．（2分）
因为E为DD₁的中点，所以BD₁∥OE．（5分）
又OE⊂平面EAC，BD₁⊂平面EAC，
所以BD₁∥平面EAC；（7分）
（2）∵BB₁⊥AC，BD⊥AC．BB₁∩BD=B，BB₁、BD在面BB₁D₁D 内
∴AC⊥平面BB₁D₁D
又BD₁⊂平面BB₁D₁D∴BD₁⊥AC．（10分）
同理BD₁⊥AB₁，∴BD₁⊥平面AB₁C．（12分）
由（1）得BD₁∥OE，∴EO⊥平面AB₁C．
又EO⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB₁C．（14分）