1.函数f(x)=x³-3a²x+a(a＞0）的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是?

题目

1.函数f(x)=x³-3a²x+a(a＞0）的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是?
答案（二分之根号二,正无穷）.
2.已知函数f(x)=x³+mx²-m²x+1(m为常数,且m＞0）有极大值9.求m的值.
答案为m=2.

答案

(1)首先求极值点.f'(x)=3x^2-3a^2=0,则x=a 或者x=-a.
再求二阶导数,f''(x)=6x,由此可知x=a是f(x)的极小值点 ,此时
f(x)=f(a)=a-2a^3二分之根号二；
同理可知x=-a是f(x)的极大值点,所以f(-a)=a+2a^3>0,这是恒成立的.
综上 a属于（二分之根号二,正无穷）.
(2)首先求极值点.f'(x)=3x^2+2mx-m^2=0,则x=m/3 或者 x=-m.
再求二阶导数,f''(x)=6x+2m,由于m＞0,所以x=-m时,f''(x)=-4m