已知F1,F2分别是椭圆x^2/25 +y^2/16=1的左右焦点,设P为椭圆上一点,过P、F1两点作直线L1交椭圆另一点为P1,斜率为K1；过P1、F2两点作直线L2交椭圆另一点为P2,斜率为K2；

题目

已知F1,F2分别是椭圆x^2/25 +y^2/16=1的左右焦点,设P为椭圆上一点,过P、F1两点作直线L1交椭圆另一点为P1,斜率为K1；过P1、F2两点作直线L2交椭圆另一点为P2,斜率为K2；再过P2、F1两点作直线L3交椭圆另一点为P3,斜率为K3……依此类推,设An=Kn,问是否存在P点,使得数列{An}为等比数列.若存在,则求出P点坐标,若不存在,则说明理由.

答案

前两天留下了这道题目,思路倒是很清楚,先设定P0坐标,再通过建立直线方程和与椭圆联立可以解出P1,P2,P3的坐标,最后可将k1,k2,k3分别计算出,再利用k2^2=k1*k3,导出矛盾,但是这计算量是在太大.这两天想了如下的一个方法.
利用椭圆参数方程
设P1=(5cosθ1,4sinθ1),P2(5cosθ2,4sinθ2)
k1=4sinθ1/(5cosθ1+3)(P1F1)
k2=4sinθ1/(5cosθ1-3)(P1F2)=4sinθ2/(5cosθ2-3)(P2F2)
k3=4sinθ2/(5cosθ1+3)(P2F1)
由k2^2=k1*k3
得：[4sinθ1/(5cosθ1-3)]*[4sinθ2/(5cosθ2-3)]=[4sinθ1/(5cosθ1+3)]*[4sinθ2/(5cosθ1+3)]
可解出cosθ1=-cosθ2(因为sinθ1和sinθ2都不能为0,否则斜率都为0,不是等比数列)
sinθ1=±sinθ2
代入k2=4sinθ1/(5cosθ1-3)=4sinθ2/(5cosθ2-3)
解出cosθ1=cosθ2=0(sinθ1=sinθ2,sinθ1=-sinθ2时无解)
这时cosθ1=cosθ2,sinθ1=sinθ2,即P1和P2重合,与题意矛盾.
所以k1,k2,k3...不可能成等比数列.
这样无需联立直线和椭圆方程,大大简化了计算过程.