在数列{an},an=(1-2t)^n,若lim(a1+a2+……+an)存在,则t的取值范围是?

题目

在数列{an},an=(1-2t)^n,若lim(a1+a2+……+an)存在,则t的取值范围是?

答案

t=0时,a(n)=1,
s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)=n,
lim_{n->无穷}s(n)=无穷,与lim_{n->无穷}s(n)存在矛盾.因此,t不为0.
此时,
{a(n)=(1-2t)^n}是首项为1-2t,公比为(1-2t)的等比数列.
s(n)=(1-2t)[(1-2t)^n - 1]/[1-2t-1] = [(2t-1)/(2t)][(1-2t)^n - 1],
1无穷时,(1-2t)^n->无穷,s(n)-〉无穷,与lim_{n->无穷}s(n)存在矛盾.
因此,1>=|1-2t|.
-1=1-2t时,(1-2t)^n = (-1)^n,s(n)=(1/2)[(-1)^n-1],s(2n)=0,s(2n-1)=-1.s(n)无极限.
因此,1-2t不等于-1.
而由t不为0知,1-2t不等于1.
因此,1>|1-2t|.
当1>|1-2t|且n->无穷时,(1-2t)^n-〉0,s(n)->(1-2t)/(2t),符合题意.
此时,-1