以知A,B,C都是正数,求证 [A+B][B+C][C+A]>=8ABC

题目

以知A,B,C都是正数,求证 [A+B][B+C][C+A]>=8ABC

答案

题目：
已知A、B、C都是正数,求证：(A+B)(B+C)(C+A)≥8ABC.
证明：利用基本不等式,可得：
(A+B)≥2√(AB)
(B+C)≥2√(BC)
(C+A)≥2√(CA)
以上三式相乘,得：
(A+B)(B+C)(C+A)≥2√(AB)×2√(BC)×2√(CA)=8ABC
等号当且仅当A=B=C时成立.
注：基本不等式为：对于正数x、y,有：(√x-√y)²≥0,展开整理即得：
x+y≥2√xy
其中√表示二次根号.