已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),且满足条件：f(xy)=f(x)+(y)；f(2)=1；当x>1时,f(x)>0.证f(x)偶函

题目

已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),且满足条件：f(xy)=f(x)+(y)；f(2)=1；当x>1时,f(x)>0.证f(x)偶函

答案

令x＝y=1得f(1)=0,因此f(1)=f((-1）*（-1）)=f(-1)+f(-1),故f(-1)=0,于是f(x)=f((-x)*(-1))=f(-x)+f(-1)=f(-x),f(x)是偶函数,只需考虑x>0的情况.此时,令g(x)=f(e^x),则g(x+y)=f(e^xe^y)=f(e^x)+f(e^y)=g(x)+g(y),因此g(x)=kx,即f(e^x)=kx,由f(2)=1知k=1/ln2,因此做变量替换e^x=t,可得f(t)=1/ln2 lnt,即f(x)=lnt/ln2,t>0时.t