如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分线相交于点点O,OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为D、E

题目

如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分线相交于点点O,OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为D、E
求证：四边形CDOE是正方形

答案

做一条辅助线OF,使OF⊥AB
首先由∠C=90°和OD⊥AC,OE⊥BC知四边形CDOE是矩形
然后,由OF⊥AB,OD⊥AC和OA平分∠BAC,以及公用边OA,知三角形OAD和OAF全等
所以OD = OF
同理,由OF⊥AB,OE⊥BC和OB平分∠ABC,以及公用边OB,知三角形OBE和OBF全等
所以OE = OF
由此OE = OD,矩形邻边相等,得证四边形CDOE是正方形