平面内有n个圆,其中没两个圆都交于两点,且无三个及以上的圆交于一点,求证：这n个圆将平面分成

题目

平面内有n个圆,其中没两个圆都交于两点,且无三个及以上的圆交于一点,求证：这n个圆将平面分成
n^2-n+2个区域
用数学归纳法证明

答案

第n个圆将平面分成f(n)部分第n-1个圆将平面分成f(n-1)部分则第n个圆与前n-1个圆有2(n-1)个交点,将圆分成2(n-1)段弧,每一段弧将其所在区域一分为二所以 f(n)=f(n-1)+2(n-1)f(1)=2f(2)-f(1)=2f(3)-f(2)=4.f(n)-f(n-1)=...