已知A,B,C三点共线,O是这条线外一点,设OA=a,OB=b,OC=c,且存在实数m,使ma-3b+c=0成立,则点A分BC的比λ

题目

已知A,B,C三点共线,O是这条线外一点,设OA=a,OB=b,OC=c,且存在实数m,使ma-3b+c=0成立,则点A分BC的比λ

答案

设点A分BC所成比为λ,则BA=λAC,OA-OB=λ(OC-OA),a-b=λ(c-a),(1+λ)a=b+λc,b=(1+λ)a-λc,
代入ma-3b+c=0得,ma=3b+c=3(1+λ)a+(1-3λ)c,[3(1+λ)-m]a=(3λ-1)c,
因为a,c不共线,a≠0向量,c≠0向量,只有3(1+λ)-m=0且3λ-1=0,解得λ=1/3,m=3(1+λ)=4,
即m=4.点A分BC所成比为1/3