设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
题目
设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
答案
证明:如图因为抛物线y
2=2px(p>0)的焦点为F(
,0),
所以经过点F的直线的方程可设为
x=my+;
代入抛物线方程得y
2-2pmy-p
2=0,
若记A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则y
1,y
2是该方程的两个根,
所以y
1y
2=-p
2.
因为BC∥x轴,且点c在准线x=-
上,
所以点c的坐标为(-
,y
2),
故直线CO的斜率为
k===.
即k也是直线OA的斜率,
当直线AB的斜率不存在时,结论亦成立.
所以直线AC经过原点O.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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