设函数f(x)=x^2-2x,实数a满足|x-a|

题目

设函数f(x)=x^2-2x,实数a满足|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2|a|+3

答案

|f(x)-f(a)|=|x^2-2x-a^2+2a|
=|(x-a)(x+a)-2(x-a)|
=|x-a|*|(x+a)-2|
<1*|(x+a)-2|
=|(x-a)+2a-2|
<=|x-a|+|2a|+|-2|
<1+2|a|+2
=2|a|+3.
即有|f(x)-f(a)|<2|a|+3