椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，

题目

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，长轴端点与短轴端点间的距离为

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．

答案

（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，a²+b²=5，…（2分）
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，…（4分）
代入椭圆方程，消去y得（（1+4k²）x²+32kx+60=0，…（5分）
所以△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
令△＞0，解得k2＞

15

4

．…（6分）
设E，F两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

32k

1+4k2

，x1x2=

60

1+4k2

，…（7分）
因为OE⊥OF，所以

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
所以（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=0，
所以

15×(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，解得k=±

19

．…（10分）
所以直线l的斜率为k=±

19

．…（12分）

（Ⅰ）由离心率为

3

2

，长轴端点与短轴端点间的距离为

5

，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求直线l的斜率．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．

考点点评：本题考查椭圆的步骤方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．