问一道考研

题目

问一道考研
φ(x)在[a,b]上连续,（a,b)内可导,证明在（a,b)内存在一点ξ,使得φ'(ξ)=(φ(ξ)-φ(a))/(b-ξ) 没有分了

答案

可用罗尔定理证明
首先,要证φ'(ξ)=(φ(ξ)-φ(a))/(b-ξ)
移项后即证φ'(ξ)(b-ξ)-φ(ξ)=-φ(a)
等式左边是φ(x)(b-x)的导数,右边是φ(a)x的导数
因此构造函数F(x)=φ(x)(b-x)+φ(a)x
F(a)=F(b)=bφ(a)
根据罗尔定理,F(x)闭区间连续,开区间可导,因此在[a,b]存在F'(ξ)=φ'(ξ)(b-ξ)-φ(ξ)+φ(a)=0
得证