数列{an}为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1=3,b1=1,数列{bn}是公比为64的等比数列,b2S2=64

题目

数列{an}为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1=3,b1=1,数列{bn}是公比为64的等比数列,b2S2=64
b2=64所以S2=a1+a2=1,所以a2=-2
可是an为正整数？

答案

题目应该是 数列{b(an)}是公比为64的等比数列
设各项为正整数的等差数列{an}的公差为d>0,d为整数
那么：an=a1+(n-1)d=3+(n-1)d
所以：a1=3；a2=3+d；a3=3+2d……
设等比数列{bn}的公比为q,则：bn=b1*q^(n-1)
所以：b1=1；b2=q；b3=q^2,……,b(an)=q^[(an)-1]
则：
b(a1)=q^[(a1)-1]=q^2
b(a2)=q^[(a2)-1]=q^(2+d)
已知数列{b(an)}是公比为64的等比数列,所以：
b(a2)=64*b(a1)
即：q^(2+d)=64*q^2
所以：q^d=64………………………………………………（1）
又,b2S2=64
即：q*(a1+a2)=q*(6+d)=64………………………………（2）
考虑到d为正整数,且对64进行分解（64=2^6=4^3=8^2）,联立(1)(2)就有：
d=2
q=8
所以：
等差数列an=a1+(n-1)d=3+(n-1)*2=2n+1
等比数列bn=b1*q^(n-1)=1*8^(n-1)=8^(n-1)