请教,数学选修1-2《推理与证明》

题目

请教,数学选修1-2《推理与证明》
已知tanA + sinA =a, tanA - sinA =b,求证(a^2 - b^2)^2=16ab

答案

(a^2-b^2)^2=[(a+b)(a-b)]^2=16tan^2(A)sin^2(A)
16ab=16[tan^2(A)-sin^2(A)]
要证(a2-b2)2=16ab成立
需证tan^2(A)sin^2(A)=tan^2(A)-sin^2(A)
即证tan^2(A)sin^2(A)-tan^2(A)=-sin^2(A)
即证-tan^2(A)[1-sin^2(A)]=-sin^2(A)
即证-sin^2(A)=-sin^2(A)
显然-sin^2(A)=-sin^2(A)成立
∴(a2-b2)2=16ab成立.
其中-tan^2(A)[1-sin^2(A)]=[-sin^2(A)/cos^2(A)]*cos^2(A)=-sin^2(A)