已知a,b,c∈R,a^2 b^2 c^2=1.求证|a b c|≤√3

题目

已知a,b,c∈R,a^2 b^2 c^2=1.求证|a b c|≤√3
已知a,b,c∈R,a^2+b^2+c^2=1.求证|a+b+c|≤√3

答案

因为a^2+b^2>=2ab 注：由(a-b)^2>=0得到
同理b^2+c^2>=2bc
a^2+c^2>=2ac
要证|a+b+c|≤√3 即证 （a+b+c)^2≤3
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = 1+2ab+2ac+2bc ≤ 1+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)=
1+2(a^2+b^2+c^2)=3
所以（a+b+c)^2≤3 所以得证,当且仅当a=b=c时取等号