设函数f（x）=（2x+a）/（x²+1）,函数g（x）=（2/3）x³+ax²-2x均在x=m和x=n处取得极值,

题目

设函数f（x）=（2x+a）/（x²+1）,函数g（x）=（2/3）x³+ax²-2x均在x=m和x=n处取得极值,
（1）求f（m）·f（n）的值；
（2）求证：f（x）在区间【m,n】上是增函数；
（3）设f（x）在区间【m,n】上的最大值和最小值分别为M和N,试问当实数a为何值时,M-N取得最小值,并求出这个最小值.

答案

(1)对f(x)和g(x)求导得：f'(x) = (-2x² - 2ax + 2)/(x² + 1)²g'(x) = 2x² + 2ax - 2因为两个函数均在x = m 与 x = n处取得极值,通过观察其导函数的特征可得：x = m 与 x = n 为方程 2x² + ...