选修4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a（其中a＞0）． （1）当a=4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

题目

选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，当x＜−

1

2

时，不等式为-x-2≤2，解得−4≤x＜−

1

2

．（1分）
当−

1

2

≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得−

1

2

≤x≤

2

3

．（2分） 当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．（3分）
综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤

2

3

}．（5分）
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|-|x-1|=

−x−2 ，x＜− 1 2 3x ，− 1 2 ≤x≤1 x+2  ，x＞1

，
故f(x)∈[−

3

2

，+∞)，即f（x）的最小值为−

3

2

．（8分）
所以，当f（x）≤log₂a有解，则有 log2a≥−

3

2

，解得a≥

2

4

，即a的取值范围是[

2

4

，+∞)．（10分）

（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|-|x-1|的解析式，求出f（x）的最小值为−

3

2

，则由 log2a≥−

3

2

，解得实数a的取值范围．

本题考点：绝对值不等式的解法．

考点点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．