已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8.a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.

已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8.a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.

题目
已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8.a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.
答案
根据已知条件
a+b+c+d=8−e
a2+b2+c2+d2=16−e2

利用柯西不等式得(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2
∴(16-e2)•4≥(8-e)2,化简得5e2-16e≤0,解之得0≤e≤
16
5

因此可得:当且仅当a=b=c=d=
6
5
时,e的最大值为
16
5
根据柯西不等式,构造出(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2,结合已知条件建立关于e的二次不等式,解之即可得到实数e的最大值.

柯西不等式.

本题给出已知等式,求实数e的最大值.着重考查了利用柯西不等式求最值,考查了一元二次不等式的解法,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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