已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求:(Ⅰ)方程有两个正根的充要条件(Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件.
题目
已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求:
(Ⅰ)方程有两个正根的充要条件
(Ⅱ)方程至少有一个正根的充要条件.
答案
首先方程有二实根的充要条件是:
解之得:a≥10或a≤2且a≠1
设方程的二实根为x
1,x
2,则
x1+x2=,x1x2=(Ⅰ)x
1,x
2均为正根
⇔ | a≠1 | | | | a≤2或a≥10 | | | | x1+x2=>0 | | | | x1x2=>0 | | | |
| |
解之得:1<a≤2或a≥10
(Ⅱ)①由(Ⅰ)知,当a≥10或1<a≤2时,方程有两个正根
②方程有一正根,一负根
⇔解得:a<1
③当
a=1时,方程化为3x-4=0,有一个正根x=综合①②③得,方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10
(Ⅰ)方程有两个正根,首先要保证方程有两个根,即该方程为二次方程(二次项系数不为零),且△≥0,再由根与系数的关系,可得两根之和、两根之积均为正,构造不等式组,解不等式组即可得到答案.
(Ⅱ)方程至少有一个正根,包含这样几种情况:①方程有两个正根②方程有一个非正根和一正根③方程为一次方程,只有一正根.分类讨论后综合即可得到答案.
一元二次方程的根的分布与系数的关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
遇到类二次方程/函数/不等式(即解析式的二次项系数含有参数)时,一般要进行分类讨论,分类的情况一般有:①先讨论二次项系数a是否为0,以确定次数②再讨论二次项系数a是否大于0,以确定对应函数的开口方向,③再讨论△与0的关系,以确定对应方程根的个数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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