已知圆O:x2+y2=1,直线l:y=33(x+4). (1)设圆O与x轴的两交点是F1,F2,若从F1发出的光线经l上的点M反射后过点F2,求以F1,F2为焦点且经过点M的椭圆方程; (2)点P是x
题目
已知圆O:x
2+y
2=1,直线l:
y=(x+4).
(1)设圆O与x轴的两交点是F
1,F
2,若从F
1发出的光线经l上的点M反射后过点F
2,求以F
1,F
2为焦点且经过点M的椭圆方程;
(2)点P是x轴负半轴上一点,从点P发出的光线经l反射后与圆O相切.若光线从射出经反射到相切经过的路程最短,求点P的坐标.
答案
解(1)如图,由光学几何知识可知,点F
1关于l的对称点F
1′
在过点A(-4,0)且倾斜角为60°的直线l′上.
在△AF
2F
1′中,椭圆长轴长
2a=MF1+MF2=F2=,
又椭圆的半焦距c=1,∴
b2=a2−c2=,
∴所求椭圆的方程为
+=1;
(2)光线从射出经反射到相切经过的路程最短,即为l′上的点P′到圆O的切线长最短,
由几何知识可知,P′应为过原点O且与l垂直的直线与l′的交点,
这一点又与点P关于l对称,∴AP=AP′=2,故点P的坐标为(-2,0).
(1)利用对称求出2a,F1F2=2c,由题意可求椭圆方程;
(2)作出图形,由题意可知图中P的对称点到圆O的切线长最短,就是过原点O且与l垂直的直线与l′的交点.
直线和圆的方程的应用.
本题考查椭圆的定义,直线和圆的位置关系,对称知识,最值问题,知识点多;
考查数形结合的数学思想,等价转化的思想,是难题,高考易考点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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