线性代数二次型方面的问题

题目

线性代数二次型方面的问题
1、试证：可逆实对称矩阵A与A逆是合同矩阵.
2、证明：一个实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式乘积的充分必要条件是它的秩等于2,而且符号差为零；或者秩等于1.
3、设A为n阶实对称矩阵,且满足A三次方 -2A平方 +4A-3E=0.证明A为正定矩阵.
4、设A为正定矩阵,E为n阶单位阵,证明：A+E的行列式大于1.

答案

先解最后一道：
因为：A是正定矩阵,则A的所有特征值均大于零.（λi>0）则对于矩阵（A+E),其特征值∧i>1.
|A+E|=,所以,|A+E|是大于1的.