已知a+b+c=0,且cos2分之一,｜c｜=根号3｜a｜,则a与c的夹角等于

题目

已知a+b+c=0,且cos2分之一,｜c｜=根号3｜a｜,则a与c的夹角等于

答案

作三角形ABC,向量AB=向量a,向量BC=向量b,向量CA=向量c,过C作AB边的高,与AB或其延长线交于D
设A为坐标原点,向量a=(1,0),于是B=(1,0),因为a,b夹角余弦值为0.5,因此角ABC的外角等于60度,也就是说角ABC等于120度,可设向量b=(x,x*根号3),可得点C坐标(1+x,x*根号3),相应地,D点坐标是(1+x,0),由题目“c的模等于根号3 a的模”得到AC长根号3,从AD^2+DC^2=CA^2,可得方程：
(1+x)^2+3x^2=3
4x^2+2x-2=0
2x^2+x-1=0
(2x-1)(x+1)=0
x=1/2
所以AD=3/2,AC=根号3,CD=(根号3)/2
可以看出角CAD,也就是a与c的夹角的外角是30度,因此a与c的夹角为150度