已知f（x）在x=0的某个邻域内连续，且f（0）=0，limx→0f(x)1-cosx=2，则在点x=0处f（x）（　　） A.不可导 B.可导，且f′（0）≠0 C.取得极大值 D.取得极小值

题目

已知f（x）在x=0的某个邻域内连续，且f（0）=0，

lim

x→0

f(x)

1-cosx

=2，则在点x=0处f（x）（　　）
A. 不可导
B. 可导，且f′（0）≠0
C. 取得极大值
D. 取得极小值

答案

lim

x→0

f(x)

1-cosx

=

lim

x→0

f(x)

1 2 x2+o(x2)

=2
故在x=0临域，有f（x）=x²+o（x²）
f'（x）=2x+o（x）
f''（x）=2+o（1）
故在点x=0处f'（0）=0，f''（0）=2＞0即在点x=0函数f（x）取得极小值．
故选：D．

由极限可得函数的多项展开式，继而可得到一阶导函数、二阶导函数．

本题考点：求函数的极值点

考点点评：本题考查函数极值点的求解及泰勒展开的灵活运用．