求二重积分∫∫Dsiny/ydxdy,其中D由y=x^(1/2)和y=^x围成.
题目
求二重积分∫∫Dsiny/ydxdy,其中D由y=x^(1/2)和y=^x围成.
答案
曲线y=√x与直线y=x的交点为(0,0)和(1,1)
于是积分区域D={(x,y)|y²≤x≤y,0≤y≤1}
从而原式=∫[0,1]siny/ydy∫[y²,y] 1 dx
=∫[0,1] sinydy-∫[0,1]ysinydy
=1-cos1-[-cos1+sin1]
=1-sin1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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