数列{an}满足a1=0且1/(1-an+1)-1/(1-an)=1.设bn=(1-根号an+1)/根号n,证明sn

题目

数列{an}满足a1=0且1/(1-an+1)-1/(1-an)=1.设bn=(1-根号an+1)/根号n,证明sn

答案

证明：
令cn=1/(1-an),则c1=1/(1-a1)=1,所以：
c(n+1)-cn=1,是等差数列,即：
cn=c1+(n-1)=n,则：
an=(n-1)/n
bn=[1-√a(n+1)]/n
={1-√[n/(n+1)]} / n
=1/√n - 1/ √(n+1)
Sn=b1+...+bn=1-1/√2 +.+ 1/√n - 1/ √(n+1)=1- 1/ √(n+1)
n为正整数,所以上式中- 1/ √(n+1)