解一元三次不等式

题目

解一元三次不等式

答案

一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移 y=x+s/3,那么我们就可以把方程的二次项消去.所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程.
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是待定的参数.
代入方程,我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q ,整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q .
由二次方程理论可知,一定可以适当选取a和b,使得在x=a-b的同时,3ab+p=0.这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3,就得到 27a6-27a3b3=27qa3
由 p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程,所以可以解得a.进而可解出b和根x.