半正定二次型的问题

题目

半正定二次型的问题
设半正定二次型f(x1,x2,x3)=X^T A X = x1^2+x2^2+x3^2+ax1x2+bx1x3+cx2x3,将X1=(1 2 -3)^T,X2=(2 -5 3)^T代入二次型中,二次型的值均为零,则此二次型经正交变换所得的标准形为________________.答的好的一定追加分~

答案

由 X1^TAX1 = 0,
左乘A^T得 (AX1)^T(AX1)=0
所以必有 AX1 = 0.
故X1是AX=0的解向量.
同理X2是AX=0的解向量.
所以AX=0 有2个线性无关的解向量X1,X2
所以 3-r(A)>=2,即 r(A)=1
故 r(A)=1.
再由 tr(A)=1+1+1=3 知 A的特征值为3,0,0
所以此二次型经正交变换所得的标准形为 3y1^2.